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1、第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学第十一章第十一章 简谐运动简谐运动图为我国返回式卫星开展图为我国返回式卫星开展 环境等环境等晶体研究用的搭载桶正在进行振动试验。晶体研究用的搭载桶正在进行振动试验。主主 讲：讲： 物理教研室物理教研室 张孟张孟email:第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学简简谐谐运运动动阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振简谐运动及其特征简谐运动及其特征简谐运动的合成简谐运动的合成小结小结简谐运动的描述方法简谐运动的描述方法第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学教教 学学 要要 求求1 理解振幅、周期、相位、及谐振动的速度、加速理解振幅
2、、周期、相位、及谐振动的速度、加速度等概念；度等概念；2 深刻理解简谐振动的特征，建立谐振动方程并理深刻理解简谐振动的特征，建立谐振动方程并理解其意义；解其意义；3 理解简谐振动的旋转矢量法并用以分析讨论问题；理解简谐振动的旋转矢量法并用以分析讨论问题；4 理解同方向、同频率的合成规律，了解相互垂直理解同方向、同频率的合成规律，了解相互垂直谐振动的合成；谐振动的合成；第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学机械振动机械振动：物体在一定位置附近所作的：物体在一定位置附近所作的周期性的往复运动；周期性的往复运动；振动振动：描述物质运动状态的物理量，在：描述物质运动状态的物理量，在某某 一数值
3、附近作周期性的变化。是物质一数值附近作周期性的变化。是物质的一种普遍的运动形式；的一种普遍的运动形式；简谐运动简谐运动：最简单、最基本的振动，是：最简单、最基本的振动，是各种形式振动的基础；各种形式振动的基础；第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学 11-1 简谐运动及其特征简谐运动及其特征 一一 弹簧振子及其运动分析（理想模型）弹簧振子及其运动分析（理想模型）第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学 弹簧振子的振动弹簧振子的振动 平衡位置平衡位置（o）：物体所受合外力为物体所受合外力为零的位置零的位置。第十一章第十一章 简谐运动简谐
4、运动物理学物理学令令第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学二二 简谐运动的特征简谐运动的特征1 运动特征运动特征积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学简谐运动判据（任一满足即可简谐运动判据（任一满足即可） 注注：量量x不不局局限限于于位位移移，它它可可以以是是角角度度、电电量量、电电压压、磁磁感感应应强强度度-广义的广义的简谐振动简谐振动 动力学特征动力学特征运动学特征运动学特征运动方程运动方程第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学当当很小时（小于很小时（小于5） 单摆单摆单摆单摆tmgloo2 准弹性力准弹性力 第十
5、一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学3 能量特征能量特征 系统做简谐运动时，势能和动能相互系统做简谐运动时，势能和动能相互转换，系统机械能守恒：转换，系统机械能守恒：第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学三三 常见的简谐运动常见的简谐运动1 1 竖直弹簧振子竖直弹簧振子第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学例例 竖直悬挂的弹簧上挂一重物，把重物从静止竖直悬挂的弹簧上挂一重物，把重物从静止位置拉下一段距离（在弹性限度内），然后放手位置拉下一段距离（在弹性限度内），然后放手任其运动。证明物体的运动是简谐运动。任其运动。证明物体的运动是简谐运动。kmyoyly0证证 以平衡位置
6、为坐标原点，向下为以平衡位置为坐标原点，向下为正方向建立坐标。正方向建立坐标。在任意位移在任意位移y处处则物体的运动是则物体的运动是简谐运动，且简谐运动，且在平衡位置处在平衡位置处第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学讨论下列情况下系统的运动特征讨论下列情况下系统的运动特征：kmkm第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学当角位移很小时（小于当角位移很小时（小于 5)复摆复摆2 复摆复摆第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学一一 简谐运动方程简谐运动方程 振动量振动量 x 随时间随时间 t 变化的函数关系，即变化的函数关系，即x=x(t)求解微分方程求解微分方程11.2
7、简谐运动的描述方法简谐运动的描述方法第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学1 振动量振动量 x 任意时刻物体离开平衡位置的位移，任意时刻物体离开平衡位置的位移，x以平以平衡位置为参考点衡位置为参考点第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学2 振幅振幅a 简谐运动物体离开平衡位置最大位移简谐运动物体离开平衡位置最大位移的绝对值的绝对值 ，称做振幅（，称做振幅（a）。）。3 周期周期 、频率和角频率、频率和角频率 物体作一次完全振动所经历的时间物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用叫做振动的周期，用t表示。表示。第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学 单位时间内物体
8、所作的完全振动的单位时间内物体所作的完全振动的次数叫做次数叫做频率频率，用，用表示，单位表示，单位hz角频率角频率（又称圆频率），单位是（又称圆频率），单位是rad/s。注注：周周期期和和频频率率只只和和振振动动系系统统本本身身的的物物理理性性质质有有关关。由由振振动动系系统统固固有有属属性性所所决决定定，因此叫因此叫 固有周期固有周期和和固有频率固有频率。所以弹簧振子的周期为所以弹簧振子的周期为第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学频率为频率为例如，例如，心脏的跳动心脏的跳动80次次/分分周期为周期为大象大象 0.40.5 马马 0.70.8猪猪 11.3 兔兔 1.7松鼠松鼠 6.
9、3 鲸鲸 0.13动物的心跳频率动物的心跳频率(参考值参考值,单位单位:hz) 第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学 昆虫翅膀振动的频率（昆虫翅膀振动的频率（hz） 雌性蚊子雌性蚊子 355415 雄性蚊子雄性蚊子 455600 苍苍 蝇蝇 330 黄黄 蜂蜂 220第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学4 相位相位 初相位初相位相位（相位（t ）：决定简谐运动物体的运动状）：决定简谐运动物体的运动状态态振动曲线：振动曲线：oxatt初相位（初相位（）：决定初始时刻简谐运动物体）：决定初始时刻简谐运动物体的运动状态的运动状态第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学第十一
10、章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学5 简谐运动的三个特征量简谐运动的三个特征量a、为简谐运动的三个特征量为简谐运动的三个特征量 由系统决定由系统决定 第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学 常数常数a和和 的确定的确定 初始条件初始条件第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学例例 一质点沿一质点沿x轴作简谐运动，平衡位置在轴作简谐运动，平衡位置在x轴原点，已知质点完成一次全振动的时间为轴原点，已知质点完成一次全振动的时间为0.63s，求下列情况下的振动方程。，求下列情况下的振动方程。1）t=0时质点过原点，且朝时质点过原点，且朝x轴正向运动，轴正向运动，速率为速率为0.6m
11、/s。2） t=0时质点过时质点过0.03m处，朝处，朝x轴负向运动，轴负向运动，速率为速率为0.6m/s。第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学解：解：（1）振动方程振动方程第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学（2）振动方程振动方程第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学思思 考考 题题: 一一 何为简谐运动？下列运动是否简谐运动？何为简谐运动？下列运动是否简谐运动？1 完全弹性球在硬地面上的跳动；完全弹性球在硬地面上的跳动；2 小小球球沿沿半半径径很很大大的的光光滑滑凹凹球球面面滚滚动动（设设小小球球经经过的弧线很短）；过的弧线很短）；二二 把把一一单单摆摆从从其其
12、平平衡衡位位置置拉拉开开，使使悬悬线线与与竖竖直直方方向向成成一一小小角角度度 ，然然后后放放手手任任其其摆摆动动，如如果果从从放放手手时时开开始始计计算算时时间间，此此角角是是否否是是振振动动初初相相？单单摆的角速度是否是振动的角频率？摆的角速度是否是振动的角频率？第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学6 简谐运动的能量简谐运动的能量1) 动能动能第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学2) 势能势能情况同动能。情况同动能。3 ) 机械能机械能简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒xtteepek(1/2)ka2o第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学 由起始能量
13、求振幅由起始能量求振幅 由由能能量量守守恒恒推推导导简简谐谐运运动动微微分分方方程程(将将能能量量守守恒恒式对式对 t 求导求导)势能曲线势能曲线第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求：，求：（1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解 （1）第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学（2）（3）（4）时，时，由由第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物
14、理学二二 振动曲线振动曲线x =acos( t )oa-atx = /2t1 振动量振动量x随时间按余弦随时间按余弦（或正弦）规律变化，任（或正弦）规律变化，任一点斜率是振动速度一点斜率是振动速度v2 曲线的峰（或谷）对应的曲线的峰（或谷）对应的x值大小为振幅值大小为振幅a3 t=0时振子位置决定了时振子位置决定了振动初相位振动初相位4 振子经过一个周期完成一次振动，运动状态回振子经过一个周期完成一次振动，运动状态回到初状态，经过的时间为到初状态，经过的时间为t第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学 =( 2 t 2)-( 1 t 1)对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动 =
15、2- 1初相差初相差 同相和反相同相和反相 当当 = 2k , ( k =0,1,2,), 两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相当当 = (2k 1) , ( k =0,1,2,),两振动步调相反两振动步调相反 ,称称反相反相 txoa1- a1a2- a2x1x2t同相同相x2toa1- a1a2- a2x1t反相反相x5 振动曲线形象的展示出相位的超前或落后关系振动曲线形象的展示出相位的超前或落后关系相位差相位差第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学 超前和落后超前和落后若若 = 2- 10, 则则x2比比x1较早达到正最大（小）较早达到正最大（小）, 称称x2比比x1超前超
16、前 (或或x1比比x2落后落后)。注：超前、落后以小于注：超前、落后以小于 的相位角来判断、说明的相位角来判断、说明x2txoa1-a1a2- a2x1t比较同一振动的比较同一振动的x、v、a的相位关系的相位关系第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学图图图图图图取取第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学 t yoxt = tt = 0 x = a cos( t ) 三三 旋转矢量法（参考圆法）旋转矢量法（参考圆法）振幅矢量振幅矢量第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运动.第
17、十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学t ：矢量：矢量 a 在在t 时刻与时刻与x轴正方向的夹角轴正方向的夹角 ：矢量：矢量 a 在在 t=0 时与时与x 轴正方向的夹角轴正方向的夹角：矢量：矢量 a 的旋转角速度的旋转角速度a ：矢量：矢量a的模（长度）的模（长度）t ：矢量：矢量 a 旋转一周所需的时间旋转一周所需的时间 acos( t )：矢量矢量 a ,t 时刻在时刻在x轴上的投影轴上的投影注：注：旋转矢量本身并不作简谐运动，我们是利用旋转矢量本身并不作简谐运动，我们是利用旋转矢量端点在旋转矢量端点在ox轴轴 上的投影点的运动，来形象上的投影点的运动，来形象地展示简谐运动规
18、律的。地展示简谐运动规律的。 第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学旋转矢量的应用旋转矢量的应用例例 求下列各振动的初相或相位。求下列各振动的初相或相位。1）t=0时，时， 且向且向x 轴正向运动；轴正向运动；2）t=0时，时，x =0， 且向且向x轴负向运动；轴负向运动；3）t时刻，时刻， 且向且向x轴负向运动；轴负向运动；4）t时刻，时刻，x = -a。 2 由初相（相位）确定初始状态（由初相（相位）确定初始状态（t时刻的状态），时刻的状态），求解振动方程并作振动曲线。求解振动方程并作振动曲线。1 由初始条件（由初始条件（t时刻的状态）确定初相（相位）时刻的状态）确定初相（相位）第
19、十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学 例例 如图，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧如图，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 （1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停处停下后再释放，求简谐运动方程；下后再释放，求简谐运动方程； （3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运，求其运动方程动方程.（2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时处时的速度；的速度；0.05第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学解（解（1）由旋转矢量图
20、可知由旋转矢量图可知第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学解解 由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知（负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）（2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时处时的速度；的速度；第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学解解 （3） 如果物体如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 求其运动求其运动方程方程.因为因为 ，由旋转矢量图可知，由旋转矢量图可知第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学例例 质量为质量为0.01kg的物体作简谐运动，其振幅为的物体作简谐运动，
21、其振幅为0.08m，周期为，周期为4s，起始时刻物体在，起始时刻物体在x=0.04m 处，处，向向x 轴负方向运动，如下图所示，试求：轴负方向运动，如下图所示，试求： （1）t=1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；时，物体所处的位置和所受的力；（2）由起始位置运动到）由起始位置运动到x = -0.04m处所需要的最短处所需要的最短时间；时间；第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学代入代入解（解（1）第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学代入上式得代入上式得第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学（2）由起始位置到由起始位置到 处所需最短时间处所需最短时间. 解一解一
22、设由起始位置到设由起始位置到 处所需最短时处所需最短时间为间为第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学解二解二起始时刻起始时刻 时刻时刻第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学11-3 简谐运动的合成简谐运动的合成一一 同方向同频率的简谐运动的合成同方向同频率的简谐运动的合成分振动分振动 : :x1=a1cos( t 1)x2=a2cos( t 2) 合振动合振动 : : x = x1 x2 x =a cos( t )合振动是简谐运动，频率仍为合振动是简谐运动，频率仍为 （三角函数）三角函数）1 代数法代数法第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学2 旋转矢量法旋转矢
23、量法xoa2a1a12 结论：结论：两个两个同同方向方向同同频率简谐运动合成后频率简谐运动合成后仍为仍为简谐简谐运动运动第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学讨论：两种特殊情况讨论：两种特殊情况 (1)若两分振动同相若两分振动同相 2 1= 2k (k=0,1,2,) (2)若两分振动反相若两分振动反相 2 1= (2k 1) (k=0,1,2,)如如 a1=a2 , 则则 a=0则则a=a1 a2 , 两分振动相互加强两分振动相互加强则则a=|a1-a2|, 两分振动相互减弱两分振动相互减弱第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学(
24、1)相位差相位差第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学(2)相位差相位差第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学(3)一般情况一般情况(2)相位差相位差(1)相位差相位差相互加强相互加强相互削弱相互削弱第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学合振动合振动不是简谐振动不是简谐振动当当 2 1时时 2- 1 2 1其其中中随缓变随缓变随快变随快变合振动可看作合振动可看作振幅缓变振幅缓变的简谐振动的简谐振动x = x1 x2二二 同方向不同频率的简谐运动的合成同方向不同频率的简谐运动的合成 拍拍 分振动分振动 x1=acos 1 t x2=acos 2t第十一章第十一章 简谐
25、运动简谐运动物理学物理学拍频：拍频：单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =| 2- 1| 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍拍第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学三三 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成两个相互垂直的同频率简谐运动的合成质点运动轨迹质点运动轨迹(1) (1) 或或 （椭圆方程）（椭圆方程） 讨论讨论第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学(1)(1)(2)(2)第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学旋旋转转矢矢量量描描绘绘振振动动合合成成图图第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学
26、简简谐谐运运动动的的合合成成图图两两相相互互垂垂直直同同频频率率不不同同相相位位差差第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学四四 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成两相互垂直不同频率的简谐运动的合成测量振动频率测量振动频率和相位的方法和相位的方法李李 萨萨 如如 图图第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学11-4 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动一一 阻尼振动阻尼振动1 振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。 2 阻尼振动的振动微分方程阻尼振动的振动微分方程c 阻力系数阻力系数 阻力阻力第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学振动系统的固
27、有角频率振动系统的固有角频率 阻尼系数阻尼系数 第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学3 过阻尼、欠阻尼和临界阻尼过阻尼、欠阻尼和临界阻尼阻尼系数较小阻尼系数较小 在阻尼不大时，可近似地看作是一种振幅在阻尼不大时，可近似地看作是一种振幅逐渐减小的简谐运动逐渐减小的简谐运动(1)欠阻尼欠阻尼角频率角频率振幅振幅第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学若阻尼很大，即若阻尼很大，即 时，物体从开始的最时，物体从开始的最大位移处缓慢地逼近平衡位置。大位移处缓慢地逼近平衡位置。 时，物体从开始的最大位移处快速时，物体从开始的最大位移处快速地逼近平衡位置。地逼近平衡位置。(2) 过阻尼过阻尼
28、(3) 临界阻尼临界阻尼第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学二二 受迫振动受迫振动 系统受力系统受力 弹性力弹性力 -kx 振动方程振动方程阻力阻力 振动系统在振动系统在周期性周期性策动力作用下的振动策动力作用下的振动周期性策动力周期性策动力第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学令令振幅振幅: :初相初相: :稳态解稳态解频率频率: : 等于策动力的频率等于策动力的频率第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学三三 共振共振 当策动力频率为某一定值时当策动力频率为某一定值时, ,受迫振动受迫振动振幅出现极大值振幅出现极大值,
29、,振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。共振频率共振频率 : :共振振幅共振振幅 : :1940 年年7月月1日美国日美国 tocama 悬索桥因共振而坍塌悬索桥因共振而坍塌第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学小小 结结二二 简谐运动的特征：简谐运动的特征：1、2、3、三三 简谐振动的特征量简谐振动的特征量 a、t 、（t、）四四 初始条件确定初始条件确定a、：一一 弹簧振子弹簧振子五五 旋转矢量法旋转矢量法第十一章第十一章 简谐运动简谐运动物理学物理学六六 简谐运动的能量简谐运动的能量七七 阻尼振动、受迫振动、共振阻尼振动、受迫振动、共振八八 简谐运动的合成简谐运动的合成1 同方向、同频率简谐振动的合成同方向、同频率简谐振动的合成2 同方向、不同频率简谐振动的合成同方向、不同频率简谐振动的合成3 不同方向、同频率简谐振动的合成不同方向、同频率简谐振动的合成4 不同方向、不同频率简谐振动的合成不同方向、不同频率简谐振动的合成