《2023年福建省泉州市普通高中数学学科竞赛试题参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年福建省泉州市普通高中数学学科竞赛试题参考答案（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学竞赛参考答案 第1页（共 10 页）2023 年泉州市普通高中数学学科竞赛年泉州市普通高中数学学科竞赛 参参 考考 答答 案案 一、填空题：本题共一、填空题：本题共 15 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 90 分。分。1设集合3|10 xaxx，2320|bx xx，则ab=_【答案】【答案】2【解析】【解析】由013xx得13x，则13|axx，又21,b，因此 2ab 2已知23x，39log2y，则1yx_【答案】【答案】2【解析】【解析】223log 3xx，所以33319log 2loglog 922yx 3已知数列na满足11a，*11()(1)nnnna aaan
2、n nn，则na _【答案】【答案】21nn 【解析】【解析】由11(1)nnnna aaan n，得111111(1)1nnaan nnn，故111111nnanan，即11nan为常数列，得1111121nana，所以21nnan 4若3sin()35x，且5(,)66x ，则sin(2)3x_【答案】【答案】2425【解析】【解析】因为5(,)66x ，所以,32 2x ，又3sin35x，所以4cos35x，所以23424sin(2)sin(2)2sin()cos()2()33335525xxxx 5记,max,a aba bb ab则函数2()max|1|,|5|f xxx的最小值为
3、_【答案】【答案】1【解析】【解析】令212()1,()5f xxfxx，则两个函数图象交于点,a b c d，根据()f x的定义可知()f x的图象是图中实线的部分，易知点b的纵坐标是函数的最小值，由方程215xx ，解得3,2dbxx，所以()(2)1bf xf 6 设,a b为实数，且0ab，虚数z为方程20axbxa的一个根，则|1i|z 的最大值为_ yx532123dcbao数学竞赛参考答案 第2页（共 10 页）【答案】【答案】21【解析】【解析】因为z和z为实系数二次方程02abxax的两个共轭虚根，由韦达定理知1az za，即12z，所以1z，z对应的点z是复平面中以0,0
4、o为圆心，半径1r 的圆上的点，1iz 可 以 看 成 点z与 定 点)1,1(a的 距 离，当 且 仅 当22i22z 时，1iz 取 最 大 值21aor 7 已知函数(1)yf x的图象关于直线1x 对称，当0 x 时，1()exf x，设10a，1cos52b，22tan201tan20c，则(),(),()f af bf c的大小关系为_（请用“0，1，由mpmq，得1211xx，1241yy ，由pnnq，得1201xxx，1201yyy 15 分 将对应项相乘得：222121212021111xxxxxxx，222121212024111yyyyyyy，而2222112244,4
5、4xyxy，所以22222221212002224()4(1)1444111xxyyxy，即001640 xy，所以点00(,)n xy在直线:1640lxy上，20 分 所以|rn的最小值即r到直线l的距离d，其中10284 257257d，这时，(4,0)n在双曲线右支内，符合题意，所以rn的最小值为4 257 25 分 20(25 分)已知多项式1110()nnnf xxaxa xa（1）若3n，且()0f x 有三个正实数根123,x xx，证明：3201282727aaa a；（2）对一般的正整数4n，若15na，212na，318na，(04)iain r，证明：方程()0f x
6、的根不全是正实数【解析】【解析】证明：（1）方法一：由韦达定理有：123212132311230,xxxax xx xx xax x xa 5 分 要证的结论：3320121231231231213238272782727aaa axxxx x xxxxx xx xx x 333222222123123121321233132863xxxx x xx xx xx xx xx xx x，又33312312312322 36xxxx x xx x x，故只需证明3332222221231213212331322 xxxx xx xx xx xx xx x 易知当13ij 时，23322323200
7、ijijjiiijjjiijijxxx xx xxx xxx xxxxx，数学竞赛参考答案 第10页（共 10 页）而最后一式显然成立，因此原结论成立 10 分 方法二：由韦达定理有：123212132311230,xxxax xx xx xax x xa 5 分 又3333333123123111311133633iiijijiiijiiijiiijxxx xxxx x xxxx xx x x ，由幂平均不等式：33331133iiiixx，得33331119iiiixx，所以33333123111131339iiiijiiiijxxxx xx x x ，将韦达定理代入得33222101()
8、()3()39aaaaa，整理即得3201282727aaa a 10 分 方法三：由韦达定理得123212132311230,pxxxaqx xx xx xarx x xa 5 分 由 schur（舒尔）不等式知23pq，3297prpq，所以326ppq，362721prpq，所以382727prpq，即3201282727aaa a 10 分（2）反证法：假设方程()0f x 的根全是正实数，设这n个正实根为12,nx xx 由韦达定理有：1115,12,18,niiijij nijkij k nxx xx x x 则33111112536nniiijijijkiiij nij k nxxx xxxx x x 3111133nniiijijkiiij nij k nxxx xx x x 20 分 33113 5 123 18126125nniiiixx ，矛盾，故原结论成立 25 分